Limites y Continuidad


Iniciándonos en las matemáticas más abstractas en el primer año de universidad, se nos hace habitual toparnos con este difícil concepto de análisis de funciones, y en particular, el analizar funciones en determinados puntos. Aquí es donde nace el concepto de Limite y Continuidad, enfocado en el entender el comportamiento de funciones matemáticas. Sabiendo esto cabe preguntarse, ¿Es tan complicado éste análisis?, ¿Por que razón todos dicen que son difícil?. Probablemente el entender el concepto pueda ser tan complicado o más, que el trabajo algebraico para llegar a una solución.

A continuación nos interiorizarémos un poco en este tema.


1. ¿Que son los limites?



Los limites son desarrollos algebraicos que nos ayudan a analizar y predecir el compotamiento de las funciones matemáticas cuando estas toman ciertos valores, los cuales provocan un comportamiento anormal o indeterminado. Para efectos de los cursos de calculo en primer año, es fundamental manejar el concepto de limites, para así, poder comprender y desarrollar ejercicios de analisis de funciones tales como; convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.


Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.


Ejemplo: Gráfica de la función f(x)= 1/(x-2). Aquí se puede apreciar que dicha función no es continua, ya que en el punto x=2, no está definido el valor de Y.

Gráfico de una función que se indetermina en x=2
Gráfico de una función que se indetermina en x=2




Ejemplo de Función Matemática
Ejemplo de Función Matemática




2. Recordando funciones matemáticas


Recordemos que una función matemática corresponde a un tipo especial de relación entre elementos de dos conjuntos, un conjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen (o también llamado recorrido), esta relación consiste básicamente en que; cada elemento del dominio esta asociado a un elemento del recorrido. Por ejemplo se tienen los conjuntos X e Y, con sus respectivos elementos como se muestran a continuación.


  • Conjunto X = {1,2,3}
  • Conjunto Y = {2,4,6}


Luego podemos decir que existe una función matemática llamada F(x) que toma los elementos del conjunto X y obtiene los elementos del conjunto Y, entonces, dicha función se expresa de la siguiente manera:


  • F(x) = 2x


Una forma simple de entender esta notación es reemplazando la x por algún numero del conjunto X, en la parte derecha de la igualdad, así nos damos cuenta de que resolviendo la operatoria se obtienen los elementos del conjunto Y.




3. Implementación de limites

Dentro de lo que se solicita en la asignatura (Calculo), encontramos como principal implementación de los limites la tarea de encontrar el limite de una función. Para esto se debe tener en cuenta como expresamos los limites. A continuación se presenta la notación clásica de limites:


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Lo cual se interpreta como sigue: el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c.

Donde: x es la variable, f(x) es la función analizada, c es un valor constante; L es el limite de la función f(x).


Ejemplos:


ejemplo 1

Resolución de un limite
Resolución de un limite

En el ejemplo anterior se puede apreciar que, si se intenta calcular el limite de la función reemplazando los valores directamente (X e Y) se produce un valor indeterminado, el cual es la división por cero. Por esta razón se resuelve la función de forma polinomial en una primera instancia para eliminar la indeterminación.


Ejemplo 2

Ejemplo 2: Calculo de Limite de una función indeterminada
Ejemplo 2: Calculo de Limite de una función indeterminada

En el ejemplo 2 se vuelve a hacer una operación polinomial para evitar la indeterminación y encontrar el limite requerido.



4. Propiedades de los Limites


Las propiedades más importantes de limites son:

Límite de X
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Límite de una función multiplicada por un escalar

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Límite de la suma de funciones

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Límite de la resta de funciones

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Límite de una multiplicación de funciones.

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Límite de una división de funciones

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Estas propiedades, son de gran utilidad al momento de trabajar y operar con limites, ya que permiten factorizar y simplificar el calculo final del limite.


5. Síntesis del tema

Los limites en el contexto de análisis de funciones brindan información de gran utilidad cuando se desea saber el comportamiento de estas funciones en casos específicos. Generalmente este análisis se centra en los puntos críticos de las funciones tales como lo son, los ceros, puntos de indeterminación, en "+" ó "-" infinito, etc.

El concepto de limite, aun que inicialmente parezca algo confuso, más adelante verán que será de gran utilidad durante los próximos cursos matemáticos de estudio, reforzando y madurando los conceptos hasta aquí vistos. Esto debido a que dentro del área, la teoría de limites ha sido utilizada para demostraciones de teoremas y axiomas en distintas ramas del Calculo y Álgebra.


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Hecho por Cristian Giha Sepúlveda y Claudio Gallardo Millar,
Mayo 2011. Santiago de Chile
Universidad de Santiago de Chile